Phương trình giá trị riêng $Ax = \lambda x$ mô tả một điều kiện hình học hiếm gặp khi phép biến đổi ma trận chỉ đơn giản là kéo giãn một vectơ thay vì xoay nó. Những vectơ "đặc biệt" này $x$ xác định các trục chính của phép biến đổi tuyến tính.
Hình học của sự đặc biệt
Đối với phần lớn vectơ, $Ax$ chỉ về một hướng khác so với $x$. Các vectơ riêng đặc biệt vì chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Giá trị riêng $\lambda$ cho biết mức độ kéo giãn này:
- $|\lambda| > 1$: Tăng trưởng (kéo giãn).
- $|\lambda| < 1$: Suy giảm (co lại).
- $\lambda < 0$: Đảo ngược (lật hướng).
Phương trình $Ax = \lambda x$ có thể được viết lại thành $(A - \lambda I)x = 0$. Để tồn tại nghiệm $x$ khác không, ma trận $(A - \lambda I)$ phải là suy biến (không khả nghịch), nghĩa là định thức của nó phải bằng không: $\det(A - \lambda I) = 0$.
Nếu ta dịch chuyển một ma trận thêm ma trận đơn vị, các vectơ riêng vẫn giữ nguyên, nhưng các giá trị riêng sẽ tăng thêm 1:
$Ax = \lambda x \implies (A+I)x = Ax + Ix = \lambda x + x = (\lambda + 1)x$
Từ chiếu vuông góc đến phản xạ
Hiểu rõ hình học của phép chiếu $P$ giúp ta suy ra phép phản xạ $R$ thông qua toán tử tuyến tính $R = 2P - I$.
Nếu $x$ là vectơ riêng của $P$ với giá trị riêng $\lambda$, thì:
$Rx = (2P - I)x = 2(Px) - Ix = 2(\lambda x) - x = (2\lambda - 1)x$
Điều này giải thích tại sao một phép chiếu (giá trị riêng 1 và 0) lại chuyển thành một phép phản xạ (giá trị riêng 1 và -1).